因式分解与 n 次单位根

习题引入

今天上高代的时候遇见这样一道题

$$\text {用余数定理证明:} (x^4+x^3+x^2+x+1)|(x^5+x^{11}+x^{17}+x^{23}+x^{29})$$

老师最后给的解答是这样的

对$(x^4+x^3+x^2+x+1)$ 进行因式分解，得到$(x-\omega_{1})(x-\omega_{2})(x-\omega_{3})(x-\omega_{4})$

然后检验他们是不是右侧等式的根

当然这个解法没有问题，但是相信很多同学都有这样的疑问

• 该怎么因式分解？
• 一定要带进右边等式算吗？

本篇就是 epi 对这些问题的一点记录

单位根

首先，我们都知道 $x^n - 1=(x-1)(1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1})$，注意到等式左边就出现了类似的结构。、

你一定知道 $n$ 次多项式至多有 $n$ 个根

有了这点共识，我们引入单位根

n 次单位根是 n 次幂为 1 的复数，它们位于复平面的单位圆上，构成正 n 边形的顶点，其中一个顶点是 1

比如，四次单位根有四个，是 $1,i,-i，-1$

有了单位根的概念，我们回头来看这个问题

问题解答

$1+x+x^2+x^3+x^4$ 就对应了除 1 以外的五次单位根，也就是说，它们是单位圆的五等分点

而 $x^5+x^{11}+x^{17}+x^{23}+x^{29}=x^4(x^1+x^6+x^{12}+x^{18}+x^{24})$

我们可以类比的得到 $x^{30}-1=(x^6-1)(x^1+x^6+x^{12}+x^{18}+x^{24})$

所以等式的右端就对应着单位圆的三十等分点去掉六等分点，加上原点

根据几何直观可得，左边的根包含于右边，得证。

实际上，n 次单位根可以记为： $1,\varepsilon,\varepsilon^2,\varepsilon^3,\dots,\varepsilon^n$ （其中 $\displaystyle{\varepsilon = \cos \frac{2\pi}{n}+i\sin{\frac{2\pi}{n}}}$） 知道欧拉公式吧，还真有关系

于是我们可以做出这样的解答：

左侧的式子的根为 $\varepsilon^{1},\varepsilon^{2},\varepsilon^{3},\varepsilon^{4}$ （$\displaystyle{\varepsilon = \cos \frac{2\pi}{5}+i\sin{\frac{2\pi}{5}}}$），注意到 它们都是右侧式子的根，得证

看起来没有区别，但是实际上完全不用做计算就能搞定，感觉这种技巧也是不可不品的证明手段

后记与参考资料

由 $x^n-1$ 的因式分解和单位根，可以进一步的提出分圆多项式，做练习遇到了再做记录吧。

今天调休，可恶的调休，不过只有一节早八，开心

参考资料：

《高等代数学》第五章多项式

《数学女孩 5》第四章与你共轭

抛开情节不谈，《数学女孩》科普真不错吧，给中学阶段的我下放了很多数学知识，现在学的时候统统化做回旋镖了